Préparation au Bac - Spécialité
Les annales du Bac
Exercice 1 : Bac S 2013 métropole - Exercice 1 - Probabilités
Une jardinerie vend de jeunes plants d’arbres qui proviennent de trois horticulteurs :
\( 70 \)% des plants proviennent de l’horticulteur \( H1, 20 \)% de
l’horticulteur \( H2 \) et le reste de l’horticulteur \( H3 \).
Chaque horticulteur livre deux catégories d’arbres : des conifères et des arbres à feuilles.
La livraison de l’horticulteur \( H1 \) comporte \( 80 \)% de conifères alors que
celle de l’horticulteur \( H2 \) n’en comporte que \( 55 \)% et celle de l’horticulteur
\( H3 \) seulement \( 20 \)%.
Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.
- \( H1 \) : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur \( H1 \) »,
- \( H2 \) : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur \( H2 \) »,
- \( H3 \) : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur \( H3 \) »,
- \( C \) : « l’arbre choisi est un conifère »,
- \( F \) : « l’arbre choisi est un arbre feuillu ».
Quelle est la probabilité qu’il ait été acheté chez l’horticulteur \( H1 \) ?
On donnera un résultat arrondi au dixième de pourcent.
On choisit au hasard un échantillon de \( 10 \) arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de \( 10 \) arbres dans le stock. On appelle \( X \) la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi.
Quel est le paramètre p de la loi binomiale que suit \( X \) ?On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \).
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \).
Exercice 2 : Bac S 2018 Liban - Exercice 3 - Position et Vitesse de sous-marins
L’objectif de cet exercice est d’étudier les trajectoires de deux sous-marins en phase de plongée.
On considère que ces sous-marins se déplacent en ligne droite, chacun à vitesse constante.
À chaque instant, exprimé en minutes, le premier sous-marin est
repéré par le point \( S_{1}(t) \) et le second sous-marin est repéré par le
point \( S_{2}(t) \) dans un repère orthonormé
\( (O ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \) dont l’unité est le mètre.
Le plan défini par \( (O ; \vec{i}, \vec{j}) \) représente la surface de la mer.
La cote \( z \) est nulle au niveau de la mer, négative sous l’eau.
On admet que, pour tout réel \( t \geq 0 \) le point \( S_{1}(t) \) a pour coordonnées : \[ \begin{cases}x_{t} = -150 -190t\\y_{t} = 120 + 80t\\z_{t} = -170 -40t\end{cases} \]
Donner les coordonnées du sous-marin au début de l'observation.On donnera la réponse sous la forme \( (x ; y ; z) \).
On donnera la valeur exacte en \( m \cdot min^{-1} \).
On se place dans le plan vertical contenant la trajectoire du premier sous-marin.
Déterminer l'angle \( \alpha \) que forme la trajectoire du sous-marin avec le plan horizontal.On donnera la réponse arrondie à \( 0,1 \) degré près.
Au début de l'observation, le second sous-marin est situé au point \( S_{2}(0) \) de coordonnées \( \left(-140; 160 ; -330 \right) \) et atteint au bout de \( 4 \) minutes le points \( S_{2}(4) \) de coordonnées \( \left(80; 170 ; -410 \right) \) avec une vitesse constante.
À quel instant \( t_{m} \), exprimé en minutes, les deux sous-marins sont-ils à la même profondeur ?Exercice 3 : Bac S 2015 métropole - Exercice 2 - Géométrie dans l'espace
Dans un repère orthonormé \((O; I; J; K )\), on considère les points
- \(D \left(14\ ;2\ ;11\right) \)
- \(E \left(14\ ;10\ ;11\right) \)
- \(W \left(-2\ ;-11\ ;9\right) \)
- \(X \left(6\ ;-11\ ;10\right) \)
Un point \(A\) se déplace sur la droite \(( D E )\) dans
le sens de \( D \) vers \( E \)
Un point \(B\) se déplace sur la droite \(( W X )\) dans
le sens de \( W \) vers \( X \)
À l'instant \(t=0\) le point \( A \) est en \( D \) et
le point \( B \) est en \( W \).
On note \( A_{t} \) et \( B_{t} \) les positions des points
\( A \) et \( B \) au bout de \(t\) secondes, \(t\) désignant un nombre réel positif.
On admet que \( A_{t} \) et \( B_{t} \) ont pour coordonnées respectives
\(\left(14\ ;2 + 8t\ ;11\right)\) et \(\left(-2 + 8t\ ;-11\ ;9 + t\right)\).
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
On donnera la réponse sous une forme développée et réduite.
On donnera directement la valeur de \(t\) avec une précision de \(10^{-2}\).
Exercice 4 : Bac S 2018 Amérique du Nord - Exercice 2 - Trajectoire d'un projectile
Lors d'une expérience en laboratoire, on lance un projectile dans un milieu fluide. L'objectif est de déterminer pour quel angle de tir \( \theta \) par rapport à l'horizontale la hauteur du projectile ne dépasse pas \( 1,40 \) mètre.
Comme le projectile ne se déplace pas dans l'air mais dans un fluide, le modèle parabolique usuel n'est pas adopté.
On modélise ici le projectile par un point qui se déplace, dans un plan vertical, sur la courbe représentative de la fonction \( f \) définir sur l'intervalle \( \left[0; \dfrac{1}{3}\right[ \) par :
\[ f(x) = 2\operatorname{ln}\left(1 -3x\right) + bx \]
où \( b \) est un paramètre réel supérieur ou égal à \( 6 \), \( x \) est l'abscisse du projectile, \( f(x) \) son ordonnée, toutes les deux exprimées en mètres.
On admet que la fonction \( f \) possède un maximum sur l'intervalle \( \left[0; \dfrac{1}{3}\right[ \) et que, pour tout réel \( x \) de \( \left[0; \dfrac{1}{3}\right[ \) :
\[ f'(x) = \dfrac{-6 + b -3bx}{1 -3x} \]
Exprimer le maximum de la fonction \( f \) en fonction de \( b \).
On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple \(\{1; 3\}\) ou \([2; 4[\), avec une précision au dixième.
L'angle de tir \( \theta \) correspond à l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe de la fonction \( f \) au point d'abscisse \( 0 \) comme indiqué dans le schéma donné ci-dessus.
Déterminer une valeur arrondie au dixième de degré près de l'angle \( \theta \).
Exercice 5 : Bac S 2018 Pondichéry - Exercice 1 - Refroidissement d'un four
Dans une usine, un four cuit des céramiques à la température de \( 1032 \) °C.
À la fin de la cuisson, il est éteint et il refroidit.
On s’intéresse à la phase de refroidissement du four, qui débute dès l’instant où il est éteint.
La température du four est exprimée en degré Celsius (°C).
La porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques dès que sa température
est inférieure à \( 68 \) °C. Sinon les céramiques peuvent se fissurer, voire se casser.
Partie A
Pour un nombre entier naturel \( n \), on note \( n_{T} \) la température en degré Celsius du
four au bout de \( n \) heures écoulées à partir de l’instant où il a été éteint.
On a donc \( T_{0} = 1032 \)
La température \( n_{T} \) est calculée par l’algorithme suivant :
On donnera une réponse arrondie à l’unité et suivie de l'unité qui convient.
Au bout de combien de temps le four peut-il être ouvert sans risque pour les céramiques ?
On donnera une réponse en \( h \), arrondie par excès au centième et suivie de l'unité qui convient.
Partie B
Dans cette partie, on note \( t \) le temps (en heure) écoulé depuis l’instant où le four a été éteint.
La température du four (en degré Celsius) à l’instant \( t \) est donnée par la fonction \( f \)
définie, pour tout nombre réel \( t \) positif, par \( f(t) = ae^{- \dfrac{1}{4}t} + b \) où \( a \) et \( b \) sont deux nombres réels.
On admet que \( f \) vérifie la relation suivante : \( f'(t) + \dfrac{1}{4} \times f(t) = 14 \).
On donnera une réponse en \( h \), arrondie par excès au centième et suivie de l'unité qui convient.
Calculer la valeur de cette température moyenne sur les 15 premières heures de refroidissement.
On donnera une réponse arrondie à l’unité et suivie de l'unité qui convient.
Cet abaissement est donné par la fonction \( d \) définie, pour tout nombre réel \( t \) positif, par \( d(t) = f(t) - f(t+1) \).
Sur une feuille, réécrivez \( d(t) \) sous la forme \( d(t) = A \times g(t) \times (1 - e^{B}) \).
Que vaut \( A \times g(t) \) ?