Les annales du Bac

Préparation au Bac - Mathématiques Spécialité

Exercice 1 : Bac S 2018 Pondichéry - Exercice 1 - Refroidissement d'un four

Dans une usine, un four cuit des céramiques à la température de \( 1000 \) °C.
À la fin de la cuisson, il est éteint et il refroidit.

On s’intéresse à la phase de refroidissement du four, qui débute dès l’instant où il est éteint.
La température du four est exprimée en degré Celsius (°C).
La porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques dès que sa température est inférieure à \( 70 \) °C. Sinon les céramiques peuvent se fissurer, voire se casser.

Partie A

Pour un nombre entier naturel \( n \), on note \( n_{T} \) la température en degré Celsius du four au bout de \( n \) heures écoulées à partir de l’instant où il a été éteint. On a donc \( T_{0} = 1000 \)
La température \( n_{T} \) est calculée par l’algorithme suivant :

\(T\) ← \(1000\)
Pour \(i\) allant de \(1\) à \(n\) :
\(T\) ← \(0,86 \times T + 8,4\)

Déterminer la température du four au bout de \( 3 \) heures de refroidissement.
On donnera une réponse arrondie à l’unité et suivie de l'unité qui convient.
On considère que pour tout nombre entier naturel \( n \) on a \( T_{n} = 940 \times 0,86^{n} + 60 \).

Au bout de combien de temps le four peut-il être ouvert sans risque pour les céramiques ?
On donnera une réponse en \( h \), arrondie par excès au centième et suivie de l'unité qui convient.

Partie B

Dans cette partie, on note \( t \) le temps (en heure) écoulé depuis l’instant où le four a été éteint. La température du four (en degré Celsius) à l’instant \( t \) est donnée par la fonction \( f \) définie, pour tout nombre réel \( t \) positif, par \( f(t) = ae^{- \dfrac{3}{20}t} + b \) où \( a \) et \( b \) sont deux nombres réels.

On admet que \( f \) vérifie la relation suivante : \( f'(t) + \dfrac{3}{20} \times f(t) = 9 \).

Déterminer la valeur de \( a \) en sachant qu’initialement, la température du four est de \( 1000 \) °C, c’est-à-dire que \( f(0) = 1000 \) .
En déduire la valeur de \( b \).
En remplaçant \( a \) et \( b \) dans l'expression de \( f \), déterminer la limite de \( f \) lorsque \( t \) tend vers \( + \infty \)
Étudier les variations de \( f \) sur \( [0 ; + \infty [ \) et en déduire son tableau de variations complet.

Essais restants : 2

Avec ce modèle, après combien de minutes le four peut-il être ouvert sans risque pour les céramiques ?
On donnera une réponse en \( h \), arrondie par excès au centième et suivie de l'unité qui convient.
La température moyenne (en degré Celsius) du four entre deux instants \( t_{1} \) et \( t_{2} \) est donnée par : \[ \frac{1}{t_{2} - t_{1}} \int_{t_{1}}^{t_{2}}f(t)dt \]

Calculer la valeur de cette température moyenne sur les 15 premières heures de refroidissement.
On donnera une réponse arrondie à l’unité et suivie de l'unité qui convient.
Dans cette question, on s’intéresse à l’abaissement de température (en degré Celsius) du four au cours d’une heure, soit entre deux instantst \( t \) et \( t + 1 \).
Cet abaissement est donné par la fonction \( d \) définie, pour tout nombre réel \( t \) positif, par \( d(t) = f(t) - f(t+1) \).

Sur une feuille, réécrivez \( d(t) \) sous la forme \( d(t) = A \times g(t) \times (1 - e^{B}) \).

Que vaut \( A \times g(t) \) ?
Que vaut \( B \) ?
Déterminer la limite de \( d(t) \) lorsque \( t \) tend vers \( + \infty \).

Exercice 2 : Bac Spécialité 2024 Amérique du Nord - Exercice 2 - Géométrie dans l'espace

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\).

1. On considère les points \(A(-2 ; 3 ; -3)\) et \(B(3 ; -3 ; -1)\).
Un représentation paramétrique de la droite \((AB)\) est :

On considère la droite \((d)\) de représentation paramétrique :

\( \begin{cases} x = 4 + 5t\\ y = -2 - t\\ z = 5 + t \end{cases} \) avec \(t \in \mathbb{R}\)

2. Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite \((d)\) ?
3. On considère la droite \((d')\) de représentation paramétrique :
\( \begin{cases} x = 14 -10k\\ y = -4 + 2k\\ z = 7 -2k \end{cases} \) avec \(k \in \mathbb{R}\)

Les droites \((d)\) et \((d')\) sont :
4. On considère le plan \((P)\) passant par le point \(I(3 ; -1 ; 1)\) et perpendiculaire à la droite \((d)\).
Une équation du plan \((P)\) est :

Exercice 3 : Bac S 2014 métropole - Exercice 1 - Étude d'une suite d'intégrales

Partie A.
Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on désigne par \( \mathcal{C}_1 \) la courbe représentative de la fonction \( f_1 \) définie sur \( \mathbb{R} \) par : \[ f_1(x) = 13 + 3e^{-5x} + 15x \]

\( \mathcal{C}_1 \) passe par le point \( A \) de coordonnées \( (0; a) \).

Que vaut \( a \) ?
Déterminer le tableau de variations de la fonction \( f_1 \).

Essais restants : 2

Partie B.
L'objet de cette partie est d'étudier \( \left(I_m\right) \) définie sur \( \mathbb{N} \setminus \left\{0\right\} \) par: \[ I_m = \int^1_0 ( 13 + 3e^{-5xm} + 15x )dx \]

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \( \left(O; \vec{i}; \vec{j} \right) \), pour tout entier naturel \( m \), on note \( \mathcal{C}_m \) la courbe représentative de la fonction \( f_m \) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f_m(x) = 13 + 3e^{-5xm} + 15x \). Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe \( \mathcal{C}_m \) pour plusieurs valeurs de l'entier \( m \) et la droite \( \mathcal{D} \) d'équation \( x = 1 \).

Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite \( \left(I_m\right) \).
Conjecturer la limite éventuelle de la suite \( \left(I_m\right) \). Si \( \left(I_m\right) \) n'admet pas de limite, écrire "Aucune".
Écrire \( I_{m+1} - I_m \), pour \( m \) supérieur ou égal à 1, sous la forme d'une seule intégrale où l'expression sous l'intégrale est factorisée.
En déduire le sens de variation de \( \left(I_m\right) \).
Déterminer l'expression de \( I_m \) en fonction de \( m \).
En déduire la limite de \( \left(I_m\right) \).

Exercice 4 : Bac S 2015 métropole - Exercice 2 - Géométrie dans l'espace

Dans un repère orthonormé \((O; I; J; K )\), on considère les points

  • \(U \left(4\ ;-13\ ;-7\right) \)
  • \(V \left(4\ ;-13\ ;-14\right) \)
  • \(W \left(7\ ;-13\ ;-2\right) \)
  • \(X \left(-14\ ;-6\ ;-2\right) \)

Un point \(E\) se déplace sur la droite \(( U V )\) dans le sens de \( U \) vers \( V \)
Un point \(F\) se déplace sur la droite \(( W X )\) dans le sens de \( W \) vers \( X \)
À l'instant \(t=0\) le point \( E \) est en \( U \) et le point \( F \) est en \( W \).
On note \( E_{t} \) et \( F_{t} \) les positions des points \( E \) et \( F \) au bout de \(t\) secondes, \(t\) désignant un nombre réel positif.

On admet que \( E_{t} \) et \( F_{t} \) ont pour coordonnées respectives \(\left(4\ ;-13\ ;-7 -7t\right)\) et \(\left(7 -21t\ ;-13 + 7t\ ;-2\right)\).

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

La droite \(( U V )\) est parallèle à l'un des axes \( ( OI ) \), \( ( OJ ) \) ou \( ( OK ) \). Lequel ?
La droite \( ( W X )\) se trouve dans un plan \( \mathcal{P} \) parallèle à l'un des plans \( ( OIJ ) \), \( ( OIK ) \), \( ( OJK ) \). Lequel ?
Quelle est l'équation de ce plan \( \mathcal{P} \) ?
Quelles sont les coordonnées du point d'intersection entre la droite \( ( U V )\) et le plan \( \mathcal{P} \) ?
Les droites \( ( U V )\) et \( ( W X )\) sont-elles sécantes ?
Calculer l'expression de (\( \left. E_{t} F_{t} \right.) ^ {2} \) en fonction de \(t\).
On donnera la réponse sous une forme développée et réduite.
À quel instant \(t\) la longueur \( E_{t} F_{t} \) est-elle minimale ?
On donnera directement la valeur de \(t\) avec une précision de \(10^{-2}\).

Exercice 5 : Bac S 2018 métropole - Exercice 2 Probabilité virus de la grippe (sans loi Normale)

Le virus de la grippe atteint chaque année, en période hivernale, une partie de la population d’une ville.
La vaccination contre la grippe est possible ; elle doit être renouvelée chaque année.

Partie A

L’efficacité du vaccin contre la grippe peut être diminuée en fonction des caractéristiques individuelles des personnes vaccinées, ou en raison du vaccin, qui n’est pas toujours totalement adapté aux souches du virus qui circulent. Il est donc possible de contracter la grippe tout en étant vacciné.

Une étude menée dans la population de la ville à l’issue de la période hivernale a permis de constater que :

  • \( 59 \) % de la population est vaccinée.
  • \( 4 \) % des personnes vaccinées ont contracté la grippe.
  • \( 28 \) % de la population a contracté la grippe.

On choisit une personne au hasard dans la population de la ville et on considère les événements :

  • V : « la personne est vaccinée contre la grippe ».
  • G : « la personne a contracté la grippe ».
Donner la probabilité de l’événement \( G \).
Compléter l’arbre de probabilités donné.
{"V": {"G": {"value": " "}, "\\overline{G}": {"value": " "}, "value": " "}, "\\overline{V}": {"G": {"hide": "true", "value": " "}, "\\overline{G}": {"hide": "true", "value": " "}, "value": " "}}
Déterminer la probabilité que la personne choisie soit vaccinée et ait contracté la grippe.
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \) près.
Considérons le cas d'une personne non vaccinée. Déterminer la probabilité que la personne choisie ait contracté la grippe.
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \) près.

Partie B

Un laboratoire pharmaceutique mène une étude sur la vaccination contre la grippe dans cette ville.
Après la période hivernale, on interroge au hasard \( n \) habitants de la ville, en admettant que ce choix se ramène à \( n \) tirages successifs indépendants et avec remise.
On suppose que la probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la ville soit vaccinée contre la grippe est égale à \( 0,59 \). On note \( X \) la variable aléatoire égale au nombre de personnes vaccinées parmi les \( n \) interrogées.

Déterminer la probabilité qu’exactement \( 16 \) des \( 42 \) personnes interrogées soient vaccinées.
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \) près.
Déterminer la probabilité qu'au plus la moitié des personnes interrogées soit vaccinée.
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \) près.
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